Question

如图，椭圆C：的右顶点是A，上、下两个顶点分别为B，D，四边形OAMB是矩形（O为坐标原点），点E，P分别是线段OA，AM的中点，
（Ⅰ）求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上；
（Ⅱ）过点B的直线l₁，l₂与椭圆C分别交于点R，S（不同于B），且它们的斜率k₁，k₂满足k₁k₂=，求证：直线RS过定点，并求出此定点的坐标。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，得A（4，0），B（0，2），D（0，-2），E（2，0），P（4，1），
所以直线DE的方程为y=x-2，
直线BP的方程为，
解方程组得，
所以直线DE与直线BP的交点坐标为，
因为，
所以点在椭圆上，
即直线DE与直线BP的交点在椭圆C上。
（Ⅱ）直线BR的方程为y=k₁x+2，
解方程组得，
所以点R的坐标为，
因为，
所以直线BS的斜率，直线BS的方程为，
解方程组，
所以点S的坐标为，
所以R，S关于坐标原点O对称，
故R，O，S三点共线，即直线RS过定点O。