Question

7．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6n-5（n=2m-1）}\\{{4}^{n}（n=2m）}\end{array}\right.$ m∈N^*，求：
（1）{a_n}的前100项和；
（2）{a_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）S₁₀₀=（a₁+a₃+a₅+…+a₉₉）+（a₂+a₄+a₅+…a₁₀₀），根据等差和等比数列的通项公式，即可求得{a_n}的前100项和；
（2）若n=2m，则S_n=（a₁+a₃+a₅+…+a_2m-1）+（a₂+a₄+a₅+…a_2m），若n=2m+1则S_n=（a₁+a₃+a₅+…+a_2m+1）+（a₂+a₄+a₅+…a_2m），由此利用分类讨论思想和分组求和法能求出数列{a_n}的前n项和．

解答 解：（1）{a_n}的前100项和S₁₀₀，
S₁₀₀=（a₁+a₃+a₅+…+a₉₉）+（a₂+a₄+a₅+…a₁₀₀），
=6（1+3+5+…+99）-5×50+$\frac{16（1-1{6}^{50}）}{1-16}$，
=6×50²-5×50+$\frac{1{6}^{51}-16}{15}$，
=14750+$\frac{1{6}^{51}-16}{15}$，
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，
若n=2m，m∈N^*，
则S_n=（a₁+a₃+a₅+…+a_2m-1）+（a₂+a₄+a₅+…a_2m），
=6（1+3+5+…+2m-1）-5m+$\frac{16（1-1{6}^{m}）}{1-16}$，
=6m²-5m+$\frac{1{6}^{m+1}}{15}$-$\frac{16}{15}$，
=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{5}{2}$n+$\frac{{4}^{n+2}}{15}$-$\frac{16}{15}$，
若n=2m+1，m∈N^*，
则S_n=（a₁+a₃+a₅+…+a_2m+1）+（a₂+a₄+a₅+…a_2m），
=6（1+3+5+…+2m+1）-5（m+1）+$\frac{16（1-1{6}^{m}）}{1-16}$，
=6m²+m+$\frac{1{6}^{m+1}}{15}$-$\frac{91}{15}$，
=$\frac{3}{2}$（n-1）²-$\frac{n-1}{2}$+$\frac{{4}^{n+1}}{15}$-$\frac{91}{15}$，
数列{a_n}的前n项和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{5}{2}n+\frac{{4}^{n+2}}{15}-\frac{16}{15}}&{n=2m}\\{\frac{3}{2}（n-1）^{2}+\frac{n-1}{2}+\frac{{4}^{n+1}}{15}-\frac{91}{15}}&{n=2m-1}\end{array}\right.$，m∈N．

点评 本题考查数列前n项和的求法，考查等比数列及等差数列前n项和，解题时认真审题，主要分组求和方法的应用，属于中档题．