Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$+log${\;}_{\frac{1}{3}}$$\frac{x}{2-x}$，解不等式f[x（x-$\frac{1}{2}$）]＞$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 要使函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$+log${\;}_{\frac{1}{3}}$$\frac{x}{2-x}$有意义，则$\frac{x}{2-x}＞0$，解得0＜x＜2．由于y=$lo{g}_{\frac{1}{3}}\frac{x}{2-x}$=$lo{g}_{\frac{1}{3}}（\frac{2}{2-x}-1）$在区间（0，2）上单调递减，又函数y=$\frac{1}{x+1}$在区间（0，2）上单调递减．可得函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$+log${\;}_{\frac{1}{3}}$$\frac{x}{2-x}$在区间（0，2）上单调性．由于f（1）=$\frac{1}{2}$，因此不等式f[x（x-$\frac{1}{2}$）]＞$\frac{1}{2}$即$f[x（x-\frac{1}{2}）]＞$f（1）．利用单调性及其定义域解出即可．

解答 解：要使函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$+log${\;}_{\frac{1}{3}}$$\frac{x}{2-x}$有意义，则$\frac{x}{2-x}＞0$，即x（x-2）＜0，解得0＜x＜2．
∵y=$lo{g}_{\frac{1}{3}}\frac{x}{2-x}$=$lo{g}_{\frac{1}{3}}（\frac{2}{2-x}-1）$在区间（0，2）上单调递减，又函数y=$\frac{1}{x+1}$在区间（0，2）上单调递减．
∴函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$+log${\;}_{\frac{1}{3}}$$\frac{x}{2-x}$在区间（0，2）上单调递减．
∵f（1）=$\frac{1}{2}+lo{g}_{\frac{1}{2}}1$=$\frac{1}{2}$，
∴不等式f[x（x-$\frac{1}{2}$）]＞$\frac{1}{2}$即$f[x（x-\frac{1}{2}）]＞$f（1）．
∴$x（x-\frac{1}{2}）＞1$，又$x（x-\frac{1}{2}）＜2$，
联立解得$\frac{1-\sqrt{17}}{2}＜x＜\frac{1-\sqrt{17}}{4}$或$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$．
∴不等式的解集为{x|$\frac{1-\sqrt{17}}{2}＜x＜\frac{1-\sqrt{17}}{4}$或$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$}．

点评 本题考查了函数的单调性、对数运算性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．