Question

7．已知函数f（x）=x+$\frac{t}{x}$有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数（0，$\sqrt{t}$]上是减函数，在[$\sqrt{t}$，+∞）上是增函数．
（1）已知h（x）=x+$\frac{4}{x}$，x∈[1，8]，求函数h（x）的最大值和最小值．
（2）已知f（x）=$\frac{4{x}^{2}-12x-3}{2x+1}$，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域．

Answer 1

分析 （1）利用已知明确h（x）在x∈[1，2]上单调递减，在x∈[2，8]上单调递增，则在x=2时取最小值，比较1与8的函数值得到最大值；
（2）把2x+1看成整体，研究对勾函数的单调性从而求出函数的值域，以及利用复合函数的单调性的性质得到该函数的单调性．

解答 解：（1）由已知可知，函数h（x）在x∈[1，2]上单调递减，在x∈[2，8]上单调递增，
因为h（1）=5＜h（8）=8.5，所以当x=8时，h（x）_max=h（8）=8.5，
当x=2时，h（x）_min=h（2）=4
（2）y=f（x）=$\frac{4{x}^{2}-12x-3}{2x+1}$=2x+1+$\frac{4}{2x+1}$-8，
设u=2x+1，x∈[0，1]，1≤u≤3，则y=u+$\frac{4}{u}$-8，u∈[1，3]，
由已知性质得，
当1≤u≤2，0≤x≤$\frac{1}{2}$时，f（x）单调递减，所以递减区间为[0，$\frac{1}{2}$]，
当2≤u≤3，$\frac{1}{2}≤x≤1$时，f（x）单调递增，所以递增区间为[$\frac{1}{2}$，1]，
由f（0）=-3，f（$\frac{1}{2}$）=-4，f（1）=-$\frac{11}{3}$，得f（x）的值域为[-4，-3]．

点评 本题主要考查了利用单调性求函数的值域，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力．