Question

2．记min{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{b，a≥b}\\{a，a＜b}\end{array}\right.$，当正数x、y变化时，t=min{x，$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$}也在变化，则t的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 先推导$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{{x}^{2}}{y}+y}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{{x}^{2}}{y}•y}}$，再分当x≥$\frac{1}{2x}$与当x≤$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$≤$\frac{1}{2x}$两种情况探讨最值．

解答 解：$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{{x}^{2}}{y}+y}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{{x}^{2}}{y}•y}}$=$\frac{1}{2x}$，
当x≥$\frac{1}{2x}$时，即x≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，t=min{x，$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$}=$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，而$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$≤$\frac{1}{2x}$≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当x≤$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$≤$\frac{1}{2x}$时，也即0＜x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，t=min{x，$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$}=x，而x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
综上t的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了函数的取最值的问题，理解新定义函数的意义，并能运用分类讨论的数学思想去解题是解决问题的关键．