Question

17．已知函数y=-3cos²x+4sinx+5，其中x是三角形中的一个内角，求函数y的最值．

Answer 1

分析 运用同角的平方关系，可得y=-3（1-sin²x）+4sinx+5=3sin²x+4sinx+2，令t=sinx，0＜t≤1，原函数变为y=3t²+4t+2，（0＜t≤1），运用配方，结合二次函数的值域求法，即可得到最值．

解答 解：由0＜x＜π，则有0＜sinx≤1，
∵sin²x+cos²x=1，
∴y=-3（1-sin²x）+4sinx+5=3sin²x+4sinx+2，
令t=sinx，0＜t≤1，
原函数变为y=3t²+4t+2，（0＜t≤1）
即y=3（t+$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$（0＜t≤1），
当t=1，即sinx=1时，有最大值y_max=9，
此时$x=\frac{π}{2}$．没有最小值．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，考查同角的平方关系和正弦函数的值域，及二次函数的值域，属于中档题．