Question

12．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足B=2A．
（1）若$b=\sqrt{3}a$，求cosC的值；
（2）若b²=2ac，求cosA的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及正弦定理可得b=2acosA，又$b=\sqrt{3}a$，从而解得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可解得B，C的值，即可得解cosC的值．
（2）由（1）可得：b=2acosA，又b²=2ac，即可解得cosA=$\frac{c}{b}$，利用余弦定理可求b²+c²=a²，由勾股定理可求A，从而得解．

解答 解：（1）∵B=2A．
∴sinB=sin2A=2sinAcosA，
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{b}{2sinAcosA}$，sinA＞0，
∴可得b=2acosA，又$b=\sqrt{3}a$，
∴$\sqrt{3}$=2cosA，解得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{π}{2}$
∴cosC=0．
（2）由（1）可得：b=2acosA，又b²=2ac，
∴解得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{c}{b}$．整理可得：b²+c²=a²，
故由勾股定理可得：A=$\frac{π}{2}$，cosA=0．

点评 本题主要考查了二倍角公式、三角形内角和定理及正弦定理、勾股定理的应用，属于基本知识的考查．