Question

已知函数f（x）=

alnx+1

ex

在x=1处的切线为y=

1

e

．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设f′（x）为f（x）的导函数，证明：对任意x＞0，x•f′（x）-1＜

1

e

-

x

ex

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数，由导数值为0求得a的值；
（Ⅱ）把f（x）的导函数代入x•f′（x）-1＜

1

e

-

x

ex

，把要证的该不等式转化为1-xlnx＜ex(1+

1

e

)，构造函数g（x）=1-xlnx，利用导数求其最大值，然后放缩证得不等式成立．

解答： （Ⅰ）解：函数f（x）=

alnx+1

ex

的定义域为（0，+∞），
f′(x)=

a x •ex-(alnx+1)•ex

(ex)2

=

a-x-axlnx

xex

（x＞0），
∵函数f（x）=

alnx+1

ex

在x=1处的切线为y=

1

e

，
∴f′(1)=

a-1

e

=0，即a=1；
（Ⅱ）证明：x•f′（x）-1＜

1

e

-

x

ex

可转化为1-xlnx＜ex(1+

1

e

)，
令g（x）=1-xlnx，得g′（x）=-1-lnx，
由g′（x）＞0，得0＜x＜

1

e

，
g′（x）＜0，得x＞

1

e

．
∴g（x）在(0，

1

e

)上位增函数，在(

1

e

，+∞)上为减函数，
∴g(x)≤g(

1

e

)=1+

1

e

，
由于x＞0，∴e^x＞1，
∴1-xlnx≤1+

1

e

＜ex(1+

1

e

)．
∴对任意x＞0，x•f'（x）-1＜

1

e

-

x

ex

．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．