Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，各条棱长都相等，AC=

3

，∠BAD=60°，∠BAA₁=∠DAA₁=45°，求BD₁的棱长，求证BD⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：平面向量及应用,空间位置关系与距离

分析：（1）由

BD1

²=（

BA

+

AD

+

DD1

）²，能求出BD₁的棱长．
（2）过A₁作A₁O⊥平面ABCD，O为垂足．可证O在∠BAD的角平分线，即AC上，可得BD⊥AC，BD⊥A₁O，从而可证BD⊥平面ACC₁A₁．

解答： 解：（1）∵在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，各条棱长都相等，AC=

3

，∠BAD=60°，
∴可解得：平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长均为1，
∠BAD=60°，∠BAA₁=∠DAA₁=45°，
∴

BD1

²=（

BA

+

AD

+

DD1

）²=

BA

²+

AD

²+

DD1

²+2|

BA

||

AD

|•cos60°+2|

AD

||

DD1

|•cos135°+2|

BA

||

DD1

|•cos45°
=1+1+1+1-

2

+

2

=4，
∴对角线BD₁的长为2．
（2）解：过A₁作A₁O⊥平面ABCD，O为垂足．
∵∠BAA₁=∠DAA₁，AB=AD，各条棱长都相等，
∴O在∠BAD的角平分线，即AC上，
∴BD⊥AC，BD⊥A₁O，
∵AC∩A₁O=O，A₁C₁∥AC，C₁?平面ACA₁C₁，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．

点评：本题考查对角线的长的求法，直线与平面垂直的判定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于基本知识的考查．