Question

已知函数f（x）=（k+

4

k

）lnx+

4-x2

x

，其中常数　k＞0．
（1）讨论f（x）在（0，2）上的单调性；
（2）若k∈[4，+∞），曲线y=f（x）上总存在相异两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）使得曲线y=f（x）在M，N两点处切线互相平行，求x₁+x₂的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导函数，对k分类讨论，利用导数的正负，即可得到f（x）在区间（0，2）上的单调性；
（2）利用过M、N点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x₁+x₂的取值范围．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

k+ 4 k

x

-

4

x2

-1=-

x2-(k+ 4 k )x+4

x2

=-

(x-k)(x- 4 k )

x2

，（x＞0，k＞0）
①当0＜k＜2时，

4

k

＞k＞0，且

4

k

＞2，
∴x∈（0，k）时，f′（x）＜0，x∈（k，2）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，k）上是减函数，在（k，2）上是增函数，；
②当k=2时，

4

k

=k=2，f′（x）＜0恒成立，
∴f（x）在（0，2）上是减函数，
③∴当k＞2时，0＜

4

k

＜2，k＞

4

k

，
∴x∈（0，

4

k

）时，f′（x）＜0，x∈（

4

k

，2）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，

4

k

）上是减函数，在（

4

k

，2）上是增函数；
（2）由题意，可得f′（x₁）=f′（x₂）（x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂），
即

k+ 4 k

x1

-

4

x12

-1=

k+ 4 k

x2

-

4

x22

-1，
化简得4（x₁+x₂）=（k+

4

k

）x₁x₂，
而x₁x₂＜(

x1+x2

2

)2，
4（x₁+x₂）＜（k+

4

k

）(

x1+x2

2

)2，
即x₁+x₂＞

16

k+ 4 k

对k∈[4，+∞）恒成立，
令g（k）=k+

4

k

，
则g′（k）=1-

4

k2

=

(k+2)(k-2)

k2

＞0对k∈[4，+∞）恒成立，
∴g（k）≥g（4）=5，
∴

16

k+ 4 k

≤

16

5

，
∴x₁+x₂＞

16

5

，
故x₁+x₂的取值范围为（

16

5

，+∞）

点评：本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键，属于中档题