Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数

(1).讨论函数的单调性；

(2).若不等式对任意的恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1) 当时， 在上单调递增；当时， 在上单调递减，在上单调递增;(2) 的最大值为.

【解析】试题分析：（1）求导 ，再分 两种情况讨论，并利用导数工具求得正解；（2）由（1）可知，若，无最小值，与题意矛盾，舍去；当 ， 在上的最小值为 ，原命题转化为

令，再利用导数工具求得 .

试题解析：（1）， ， ，

①当时， ， 在上单调递增；

②当时，令，得，

x
		0
	↘	极小值	↗

综上所述，当时， 在上单调递增；当时， 在上单调递减，在上单调递增．

（2）由（1）可知，若，函数在上单调递增， 在上无最小值，与题意矛盾，舍去；

所以， 在上单调递减，在上单调递增， 在上的最小值为．

因为不等式对任意都成立，

所以，其中，

故， ，

令， ， ，

令，解得，

m
		0
	↗	极大值	↘

所以，故，

即的最大值为．