Question

14．命题p：“?x∈R，2^x-1＞0”，命题q：“函数f（x）=sinx+$\frac{1}{sinx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$]最小值为2，则下列命题正确的是（　　）

• A． 命题“p∧q”是真命题
• B． 命题“p∧（￢q）”是真命题
• C． 命题“（￢p）∧q”是真命题
• D． 命题“（￢p）∧（￢q）”是真命题

Answer 1

分析 根据x≤0时，2^x-1≤0，可判断p，根据对勾函数的图象和性质，利用换元法，求出函数的最小值，可判断q，进而得到答案．

解答 解：当x≤0时，2^x-1≤0，
故命题p：“?x∈R，2^x-1＞0”为假命题；
令t=sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$]，则t∈（0，1]，
此时y=t+$\frac{1}{t}$为减函数，当t=1，即x=$\frac{π}{2}$时，函数取最小值为2，
故命题q：“函数f（x）=sinx+$\frac{1}{sinx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$]最小值为2“为真命题，
故命题“p∧q”，“p∧（￢q）”，“（￢p）∧（￢q）”是假命题，
命题“（￢p）∧q”是真命题，
故选：C．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题，复合命题，对勾函数的图象和性质，难度中档．