【题目】如图,四边形是正方形,
平面
,
,
,
,
,
分别为
,
,
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求平面与平面
所成锐二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
试题(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明证线线垂直,只需要证明直线的方向向量垂直;(3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4)空间向量将空间位置关系转化为向量运算,应用的核心是要充分认识形体特征,建立恰当的坐标系,实施几何问题代数化.同时注意两点:一是正确写出点、向量的坐标,准确运算;二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.
试题解析:(1)证明:,
分别为
,
的中点,
.
又平面
,
平面
,
平面
.
(2)解:平面
,
,
平面
平面
,
.
四边形
是正方形,
.
以为原点,分别以直线
为
轴,
轴,
轴
建立如图所示的空间直角坐标系,设
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
分别为
,
,
的中点,
,
,
,
,
(解法一)设为平面
的一个法向量,则
,
即,令
,得
.
设为平面
的一个法向量,则
,
即,令
,得
.
所以=
=
.
所以平面与平面
所成锐二面角的大小为
(或
)
(解法二),
,
是平面
一个法向量.
,
,
是平面平面
一个法向量.
平面
与平面
所成锐二面角的大小为
(或
).
(解法三)延长到
使得
连
,
,
四边形
是平行四边形,
四边形
是正方形,
,
分别为
,
的中点,
平面
,
平面
,
平面
.
平面
平面
平面
故平面与平面
所成锐二面角与二面角
相等.
平面
平面
平面
是二面角
的平面角.
平面
与平面
所成锐二面角的大小为
(或
).
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【题目】从某工厂生产线上随机抽取16件零件,测量其内径数据从小到大依次排列如下:1.12,1.25,1.21,1.23,1.25,1.25,1.26,1.30,1.30,1.32,1.34,1.35,1.37,1.38,1.41,1.42.据此可估计该生产线上大约有25%的零件内径小于等于___________㎜,大约有30%的零件内径大于___________mm(单位:mm).
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【题目】设函数f (x)=ln x-x+1.
(1)讨论函数f (x)的单调性;
(2)证明当x∈(1,+∞)时, ;
(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.
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【题目】若函数满足(1)对于定义域上的任意
,恒有
;(2)对于定义域上的任意
当
时,恒有
,则称函数
为“理想函数”,给出下列四个函数中:①
; ②
;③
;④
,则被称为“理想函数”的有( )
A.①B.②④C.③D.④
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【题目】已知二次函数.
(1)若方程两个根之和为4,两根之积为3,且过点(2,-1).求
的解集;
(2)若关于的不等式
的解集为
.
(ⅰ)求解关于的不等式
(ⅱ)设函数,求函数
的最大值
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【题目】过圆上的点
作圆
的切线,过点
作切线的垂线
,若直线
过抛物线
的焦点
.
(1)求直线与抛物线
的方程;
(2)若直线与抛物线
交于点
,点
在抛物线
的准线上,且
,求
的面积.
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【题目】在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动,抽奖规则是:盒子里面共有5个小球,小球上分别写有0,1,2,3,4的数字,小球除数字外其它完全相同,每对亲子中,家长先从盒子中取出一个小球,记下数字后将小球放回,孩子再从盒子中取出一个小球,记下小球上数字将小球放回.抽奖活动的奖励规则是:①若取出的两个小球上数字之积大于8,则奖励飞机玩具一个;②若取出的两个小球上数字之积在区间上,则奖励汽车玩具一个;③若取出的两个小球上数字之积小于2,则奖励饮料一瓶.
(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率;
(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率,哪个更大?请说明理由.
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【题目】某公司试销一种成本单价为500元的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y=kx+b(k≠0),函数图象如图所示.
(1)根据图象,求一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式;
(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元.试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大毛利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少?
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【题目】如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD ,且∠BAP=∠CDP =90°.
(1).证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2).若PA=PD=AB=DC, ∠APD =90°,且四棱锥PABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.
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