Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）判断f（x）在（0，+∞）的单调性；
（2）若x＞0，证明：（ex﹣1）ln（x+1）＞x2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函数f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞）

∴f′（x）= ，

设g（x）= ﹣ln（1+x），

∴g′（x）= ﹣ = ＜0，

∴g（x）在（0，+∞）为减函数，

∴g（x）＜g（0）=0，

∴f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，+∞）为减函数

（2）解：（ex﹣1）ln（x+1）＞x2等价于 ＞ ，

∵ = = ，

∴原不等式等价于 ＞ ，

由（1）知，f（x）= 是（0，+∞）上的减函数，

∴要证原不等式成立，只需要证明当x＞0时，x＜ex﹣1，

令h（x）=ex﹣x﹣1，

∴h′（x）=ex﹣1＞0，

∴h（x）是（0，+∞）上的增函数，

∴h（x）＞h（0）=0，

即x＜ex﹣1，

∴f（x）＞f（ex﹣1），

即 ＞ =＞ ，

故（ex﹣1）ln（x+1）＞x2

【解析】（1）根据导数和函数单调性的关系，以及导数和最值得关系即可求出；（2）原不等式等价于 ＞ ，要证原不等式成立，只需要证明当x＞0时，x＜ex﹣1，令h（x）=ex﹣x﹣1，利用导数和最值得关系即可证明．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．