【题目】已知函数f(x)=ax2+2x+c(a、c∈N*)满足:①f(1)=5;②6<f(2)<11.
(1)求a、c的值;
(2)若对任意的实数x∈[ , ],都有f(x)﹣2mx≤1成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:∵f(1)=a+2+c=5,
∴c=3﹣a.①
又∵6<f(2)<11,即6<4a+c+4<11,②
将①式代入②式,得﹣ <a< ,又∵a、c∈N*,∴a=1,c=2
(2)解:由(1)知f(x)=x2+2x+2.
证明:∵x∈[ , ],∴不等式f(x)﹣2mx≤1恒成立2(1﹣m)≤﹣(x+ )在[ , ]上恒成立.
易知[﹣(x+ )]min=﹣ ,
故只需2(1﹣m)≤﹣ 即可.
解得m≥
【解析】(1)把条件①f(1)=5;②6<f(2)<11代入到f(x)中求出a和c即可;(2)不等式f(x)﹣2mx≤1恒成立2(1﹣m)≤﹣(x+ )在[ , ]上恒成立,只需要求出[﹣(x+ )]min=﹣ ,然后2(1﹣m)≤﹣ 求出m的范围即可.
【考点精析】通过灵活运用函数的最值及其几何意义,掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值即可以解答此题.
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【题目】对定义域分别为D1 , D2的函数y=f(x),y=g(x),规定:函数h(x)= ,f(x)=x﹣2(x≥1),g(x)=﹣2x+3(x≤2),则h(x)的单调减区间是 .
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【题目】已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y)且当x>1时,f(x)>0.
(1)判断函数f(x)在其定义域(0,+∞)上的单调性并证明;
(2)解不等式f(x)+f(x﹣2)≤3.
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【题目】如图所示,抛物线y=1﹣x2与x轴所围成的区域是一块等待开垦的土地,现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地,其中A、B在抛物线上,C、D在x轴上.已知工业用地每单位面积价值为3a元(a>0),其它的三个边角地块每单位面积价值a元.
(1)求等待开垦土地的面积;
(2)如何确定点C的位置,才能使得整块土地总价值最大.
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【题目】某公司即将推车一款新型智能手机,为了更好地对产品进行宣传,需预估市民购买该款手机是否与年龄有关,现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查,若得分低于60分,说明购买意愿弱;若得分不低于60分,说明购买意愿强,调查结果用茎叶图表示如图所示.
(1)根据茎叶图中的数据完成列联表,并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关?
(2)从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样,共抽取5人,从这5人中随机抽取2人进行采访,求这2人都是年龄大于40岁的概率.
附: .
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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