【题目】已知函数.
(1)求曲线在原点处的切线方程;
(2)求函数的单调区间及最大值;
(3)证明:.
【答案】(1)(2)的递增区间为,递减区间为,函数最大值是(3)详见解析
【解析】
(1)根据题意,求出函数的导数,由导数的几何意义可得切线的斜率k=f'(0)=0,据此分析可得答案;
(2)根据题意,求出函数的导数,利用导数与函数单调性的关系分析函数的单调区间,据此分析可得函数的最大值;
(3)根据题意,由(2)的结论可得ln(x+1)≤x2+x,分别令x=1、、,可得ln2,lnln3﹣ln2,lnln4﹣ln3;将这些式子相加即可得的答案.
(1)所求切线的斜率
从而曲线在原点处的切线方程为
(2)
由得;由得
的递增区间为,递减区间为,函数最大值是
(3)由(2)可知:仅当时取等号别取得
以上不等式两边相加即得所证不等式
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【题目】某中学为弘扬优良传统,展示80年来的办学成果,特举办“建校80周年教育成果展示月”活动。现在需要招募活动开幕式的志愿者,在众多候选人中选取100名志愿者,为了在志愿者中选拔出节目主持人,现按身高分组,得到的频率分布表如图所示.
(1)请补充频率分布表中空白位置相应数据,再在答题纸上完成下列频率分布直方图;
(2)为选拔出主持人,决定在第3、4、5组中用分层抽样抽取6人上台,求第3、4、5组每组各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,主持人会在上台的6人中随机抽取2人表演诗歌朗诵,求第3组至少有一人被抽取的概率?
参考公式:
.
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【题目】潮州统计局就某地居民的月收入调查了人,并根据所得数据画了样本的频率分
布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在)。
(1)求居民月收入在的频率;
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数;
(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这人中分层抽样方法抽出人作进一步分析,则月收入在的这段应抽多少人?
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【题目】《九章算术》是中国古代的数学专著,是“算经十书”中最重要的一种。在其第七章中有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长一尺,蒲生日自半,莞生日自倍,问几何日而长等?”意思是植物蒲发芽的第一天长高三尺,植物莞发芽的第一天长高一尺。蒲从第二天开始每天生长速度是前一天的一半,莞从第二天开始每天生长速度为前一天的两倍。问这两种植物在何时高度相同?
在此问题中,蒲和莞高度相同的时刻在( )
A. 第二天 B. 第三天 C. 第四天 D. 第五天
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【题目】某市公交公司为了鼓励广大市民绿色出行,计划在某个地段增设一个起点站,为了研究车辆发车的间隔时间与乘客等候人数之间的关系,经过抽样调查五个不同时段的情形,统计得到如下数据:
间隔时间(分钟) | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
等候人数(人) | 16 | 19 | 23 | 26 | 29 |
调查小组先从这5组数据中选取其中的4组数据求得线性回归方程,再用剩下的1组数据进行检验,检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求与实际等候人数的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求的回归方程是“理想回归方程”.
(1)若选取的是前4组数据,求关于的线性回归方程,并判断所求方程是否是“理想回归方程”;
(2)为了使等候的乘客不超过38人,试用所求方程估计间隔时间最多可以设为多少分钟?
参考公式:用最小二乘法求线性回归方程的系数公式:
,.
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【题目】已知数列{an}满足a1=1, ,其中n∈N*.
(1)设,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式.
(2)设,数列{cncn+2}的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得对于n∈N*,恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以为极点, 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数).
(Ⅰ)写出直线与曲线的直角坐标方程:
(Ⅱ)过点平行于直线的直线与曲线交于、两点,若,求点轨迹的直角坐标方程.
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【题目】中华民族是一个传统文化丰富多彩的民族,各民族有许多优良的传统习俗,如过大年吃饺子,元宵节吃汤圆,端午节吃粽子,中秋节吃月饼等等,让人们感受到浓浓的节目味道. 某小区有1200户家庭,全部居民在小区的8栋楼内,各家庭在过年时各自包有肉馅饺子、蛋馅饺子和素馅饺子三种味道的饺子(假设每个家庭包有且只包有这三种味道中的一种味道的饺子).
(1)现根据饺子的不同味道用分层抽样的方法从该小区随机抽样抽取户家庭,其中有10户家庭包的是素馅饺子,在抽取家庭中包肉馅饺子和蛋馅饺子的家庭分布在8栋楼内的住户数记录为如图所示的茎叶图,已知肉馅饺子数的中位数为10,蛋馅饺子数的平均数为5,求该小区包肉馅饺子的户数;
(2)现从包肉馅饺子的家庭中随机抽取100个家庭调查包饺子的用肉量(单位: )得到了如图所示的频率分布直方图,若用肉量在第1小组内的户数为(为茎叶图中的),试估计该小区过年时各户用于包饺子的平均用肉量(各小组数据以组中值为代表).
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