Question

设P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上除顶点外的任意一点，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，△PF₁F₂的内切圆与边F₁F₂相切于点M，则

F1M

•

MF2

=（　　）

• A、a²
• B、b²
• C、a²+b²
• D、

  1

  2

  b²

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用双曲线的定义，结合△PF₁F₂的内切圆与边F₁F₂相切于点M，可得|F₁M|-|F₂M|=2a，利用|F₁M|+|F₂M|=2c，求出|F₁M|=c+a，|F₂M|=c-a，即可求出

F1M

•

MF2

．

解答： 解：不妨设P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右支上一点，则|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵△PF₁F₂的内切圆与边F₁F₂相切于点M，
∴|F₁M|-|F₂M|=2a，
∵|F₁M|+|F₂M|=2c，
∴|F₁M|=a+c，|F₂M|=c-a，
∴

F1M

•

MF2

=|F₁M||F₂M|=c²-a²=b²，
故选：B．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查双曲线的定义，正确运用圆的性质是关键．