Question

已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若

AB

=λ

AE

，

AC

=μ

AF

（λ＞0，μ＞0），则

1

λ

+

4

μ

的最小值为（　　）

• A、

  9

  2

• B、

  13

  2

• C、

  15

  2

• D、

  17

  2

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：由题意可知

AD

=

λ

2

AE

+

μ

2

AF

，由D，E，F三点共线可知

λ

2

+

μ

2

=1，利用基本不等式即可求解．

解答： 解：由题意可知，

AD

=

1

2

AB

+

1

2

AC

=

λ

2

AE

+

μ

2

AF

    又D，E，F共线，
∴

λ

2

+

μ

2

=1
又（λ＞0，μ＞0）
∴

1

λ

+

4

μ

=（

1

λ

+

4

μ

）•(

λ

2

+

μ

2

)
=

5

2

+

2λ

μ

+

μ

2λ

≥

5

2

+2

2λ μ • μ 2λ

=

9

2

当且仅当

2λ

μ

=

μ

2λ

，即μ=2λ时取等号．
故选：A

点评：本题考察了向量与基本不等式的综合运用，其中向量式的结论和“1”的代入是关键，属中档题．