Question

三棱锥P-ABC是侧棱长为2的正三棱锥，△ABC是底面，PA⊥PB，此三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：球

分析：判断正三棱锥的形状，三棱锥扩展为正方体，三棱锥与正方体的外接球相同，求出外接球的半径即可求解球的体积．

解答： 解：三棱锥P-ABC是侧棱长为2的正三棱锥，△ABC是底面，PA⊥PB，
∴PA⊥PC，PC⊥PB，
三棱锥是正方体的一个角，三棱锥扩展为正方体，
正三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的棱长为：2，
正方体的对角线计算外接球的直径，球的半径为：

1

2

×2

3

=

3

．
该球的体积为：

4π

3

r3=4

3

π．
故答案为：4

3

π．

点评：本题考查几何体的外接球以及球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．