Question

11．解关于x的不等式：
（1）ax²-（a+1）x+1＜0（a∈R）；
（2）ax²+（2a-1）x-2＜0（a∈R）；
（3）ax²-2x+1＜0（a∈R）；
（4）x²+x+m≤0（x＞0）

Answer 1

分析 根据字母的系数分类讨论，即可求出不等式的解集．

解答 解：（1）ax²-（a+1）x+1＜0等价于（ax-1）（x-1）＜0（a∈R），
当a=0时，不等式的解集为（1，+∞），
当a＞0时，等价于（x-$\frac{1}{a}$）（x-1）＜0，
即当0＜a＜1时，不等式的解集为（1，$\frac{1}{a}$）
当a=1时，不等式的解集为空集，
当a＞1时，不等式的解集为（$\frac{1}{a}$，1），
当a＜0时，不等式等价于（x-$\frac{1}{a}$）（x-1）＞0，
即不等式的解集为（-∞，$\frac{1}{a}$）∪（1，+∞）
（2）ax²+（2a-1）x-2＜0等价于（x+2）（ax-1）＜0（a∈R）
当a=0时，不等式的解集为（-2，+∞），
当a＞0时，不等式等价于（x-$\frac{1}{a}$）（x+2）＜0，不等式的解集为（-2，$\frac{1}{a}$）
当a＜0时，不等式等价于（x-$\frac{1}{a}$）（x+2）＞0，
当-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，不等式的解集为（-∞，$\frac{1}{a}$）∪（2，+∞），
当a=-$\frac{1}{2}$时，不等式的解集为（-∞，-2）∪（-2，+∞），
当a＜-$\frac{1}{2}$时，不等式的解集为（-∞，-2）∪（$\frac{1}{a}$，+∞），
（3）ax²-2x+1＜0（a∈R）；
当a=0时，不等式的解集为（$\frac{1}{2}$，+∞），
当a＞0时，且△=4-4a＞0时，即0＜a＜1时，不等式的解集为（$\frac{2-\sqrt{4-4a}}{2}$，$\frac{2+\sqrt{4-4a}}{2}$），
当a＞0是，且△=4-4a≤0时，即a≥1时，不等式的解集为空集，
当a＜0时，且△=4-4a＞0时，即a＜0时，不等式的解集为（-∞，$\frac{2-\sqrt{4-4a}}{2}$）∪（$\frac{2+\sqrt{4-4a}}{2}$，+∞），
（4）x²+x+m≤0（x＞0），
当△=1-4m＞0时，即m＜$\frac{1}{4}$时，x²+x+m=0的根为x=-$\frac{-1-\sqrt{1-4m}}{2}$（舍去）或x=$\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}$，
若当$\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}$＞0时，即m＜0时，不等式的解集为[0，$\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}$]，
若当$\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}$＜0时，即0＜m＜$\frac{1}{4}$时，不等式的解集为空集
若当$\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}$=0时，即m=0时，不等式的解集为空集
当△=1-4m＜0时，即m＞$\frac{1}{4}$时，不等式的解集为空集，
当△=1-4m=0时，即m=$\frac{1}{4}$时，不等式的解集为空集，
综上所述当m＜0时，不等式的解集为[0，$\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}$]，当m≥0时，不等式的解集为空集．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法，关键是分类讨论，属于中档题．