Question

6．对于实数x∈（0，$\frac{π}{2}}$），f（x）=$\frac{1}{{9{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{9{{cos}^2}x}}$．
（I）f（x）≥t恒成立，求t的最大值；
（II）在（I）的条件下，求不等式|x+t|+|x-2|≥5的解集．

Answer 1

分析 （I）利用柯西不等式求得f（x）的最小值，再根据f（x）≥t恒成立，求t的最大值．
（II）在（I）的条件下，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：（I）∵实数x∈（0，$\frac{π}{2}}$），∴sinx＞0，cosx＞0，
f（x）=$\frac{1}{{9{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{9{{cos}^2}x}}$=[${（\frac{1}{3sinx}）}^{2}$+${（\frac{2}{3cosx}）}^{2}$]•（sin²x+cosx²） $≥{（{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}）^2}=1$，当且仅当$\frac{1}{{3sin}^{2}x}$=$\frac{2}{{3cos}^{2}x}$ 时，取等号，
所以f（x）的最小值为1，所以t≤1，即t的最大值为1．
（II）在（I）的条件下，|x+t|+|x-2|≥5，即，|x+1|+|x-2|≥5，
这个不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}x≤-1\\-（{x+1}）-（{x-2}）≥5\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜2}\\{x+1-（x-2）≥5}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{x+1+（x-2）≥5}\end{array}\right.$ ③．
解①求得x≤-2，解②求得x∈∅，解③求得x≥3，
综上可得，不等式的解集为{x|x≤-2或x≥3}．

点评 本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．