Question

16．已知圆C的方程为x²+y²=4．
（1）求过点P（1，2）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A，B两点，若|AB|=2$\sqrt{3}$，求直线l的方程；
（3）M是圆C上的动点，定点N的坐标为（0，1），若Q为线段MN的中点，求动点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可设切线l的方程为y-2=k（x-1），利用圆心到切线的距离等于半径求得k值，则切线方程可求；
（2）当直线l垂直于x轴时，求得直线l的方程，并检验；当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y-2=k（x-1），结合直线与圆的位置关系，利用弦长公式即可求得k值，从而直线l的方程；
（3）设MN中点Q（x，y），则M（2x-4，2y），代入圆的方程即得线段MN中点Q的轨迹方程．

解答 解：（1）由题意可知，所求切线的斜率存在，设切线l的方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
由$\frac{|-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，得k=0或k=-$\frac{4}{3}$．
∴直线l的方程为y=2或$-\frac{4}{3}x-y+\frac{4}{3}+2=0$，
即y=2或4x+3y-10=0；
（2）当直线l垂直于x轴时，则此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为 （1，$\sqrt{3}$），和 （1，-$\sqrt{3}$），其距离为2$\sqrt{3}$，满足题意．
当直线l不垂直于x轴，设其方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
设圆心到此直线的距离为d，则2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$，解得d=1，
∴$\frac{|-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得k=$\frac{3}{4}$，
故此时直线l的方程为$\frac{3}{4}$x-y-$\frac{3}{4}$+2=0，即 3x-4y+5=0，
故直线l的方程为：x=1或3x-4y+5=0；
（3）圆x²+y²=4 上动点M及定点N（0，1），
设MN中点Q（x，y），则M（2x，2y-1），代入圆的方程得4x²+（4y-1）²=4．
∴线段MN中点Q的轨迹方程是：4x²+（4y-1）²=4．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，训练了代入法求动点的轨迹方程，是中档题．