Question

4．以椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的中心O为圆心，且以其短轴长为直径的圆可称为该椭圆的“伴随圆”，记为C₁．已知椭圆C的右焦点为（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，0），且过点（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$）．
（I）求椭圆C及其“伴随圆”C₁的方程；
（Ⅱ）过点M（t，0）作C₁的切线l交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为坐标原点）的面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用已知条件列出方程，求解椭圆的几何量，即可求出椭圆的方程．
（Ⅱ）求出$|t|≥\frac{1}{2}$，设直线l的方程为x=my+t，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用直线l与C₁相切，求出m²=4t²-1，联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+t}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，通过韦达定理弦长公式，求解三角形的面积的表达式，然后求解最值．

解答 解：（I）由已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}={b}^{2}+\frac{3}{4}}\\{\frac{\frac{1}{4}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{3}{16}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
化简可得：64b⁴+20b²-9=0，（4b²-1）（16b²+9）=0，
∴${b^2}=\frac{1}{4}$，a²=1，
∴$椭圆C的方程为：{x^2}+\frac{y^2}{{\frac{1}{4}}}=1$，…（3分）
“伴随圆”C₁的方程为：${x^2}+{y^2}=\frac{1}{4}$．…（5分）
（Ⅱ）由已知可得：$|t|≥\frac{1}{2}$，
设直线l的方程为x=my+t，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直线l与C₁相切，∴$d=\frac{|t|}{{\sqrt{{m^2}+1}}}=\frac{1}{2}$，即：m²=4t²-1，…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+t}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
得：（m²+4）y²+2mty+t²-1=0，△=（2mt）²-4（m²+4）（t²-1）=12＞0，∴${y_1}+{y_2}=-\frac{2mt}{{{m^2}+4}}，{y_1}•{y_2}=\frac{{{t^2}-1}}{{{m^2}+4}}$，…（8分）．
${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{OM}|•|{{y_1}-{y_2}}|$=$\frac{1}{2}|t|•\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}•{y_2}}$=$|t|•\sqrt{\frac{{{m^2}-4{t^2}+4}}{{{{（{m^2}+4）}^2}}}}=\frac{{\sqrt{3}|t|}}{{4{t^2}+3}}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{{4|t|+\frac{3}{|t|}}}≤\frac{{\sqrt{3}}}{{2\sqrt{12}}}=\frac{1}{4}$，
当且仅当$t=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$时取到等号．…（11分）
∴△AOB（O为坐标原点）的面积的最大值为：$\frac{1}{4}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．