Question

19．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α为参数），若以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ-cosθ）=4，
（1）已知点M的极坐标为（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），写出点M关于直线l对称点M′的直角坐标；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值与最大值．

Answer 1

分析 （1）把极坐标化为直角坐标，利用垂直平分线的性质即可得出．
（2）利用点到直线的距离公式、三角函数的单调性与值域、和差公式即可得出．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程为ρ（sinθ-cosθ）=4，化为直角坐标方程：x-y+4=0，
点M的极坐标为（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），化为直角坐标方程：（2，2），
设点M关于直线l对称点M′的直角坐标（x，y），可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+2}{2}-\frac{y+2}{2}+4=0}\\{\frac{y-2}{x-2}×1=-1}\end{array}\right.$，解得x=-2，y=6．
∴点M关于直线l的对称点M'直角坐标为（-2，6）；
（2）由已知可设Q$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，利用点到直线距离公式可得：$d=\frac{{|\sqrt{3}cosα-sinα+4|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|2cos（α+\frac{π}{6}）+4|}}{{\sqrt{2}}}$∈$[\sqrt{2}，3\sqrt{2}]$，
那么到直线l的距离的最小值与最大值分别为$\sqrt{2}$与$3\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程互化、参数方程化为普通方程、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式、三角函数的单调性与值域、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．