Question

19．下列命题
①命题“?x₀∈R，x₀²+1＞3x₀”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”；
②“函数f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；
③“平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角”的充分必要条件是“$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜0”；
④设有四个函数y=x^-1，y=${x^{\frac{1}{2}}}$，y=x²，y=x³其中在（0，+∞）上是增函数的函数有3个．
真命题的序号是①②④．

Answer 1

分析 对于①，根据含有量词的命题的否定即可判断；对于②，先利用二倍角公式将f（x）化简，然后根据T=$\frac{2π}{|ω|}$求出a的值，再判断充分必要性；对于③，根据向量数量积的定义以及两向量夹角的取值范围进行判断；对于④，根据幂函数的性质分别判断四个函数在（0，+∞）上的单调性即可．

解答 解：对于①：全称命题的否定是存在性命题（也叫特称命题），所以命题“?x₀∈R，x₀²+1＞3x₀”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”，故①正确；
对于②：由二倍角公式可知，f（x）=cos²ax-sin²ax=cos2ax，由T=$\frac{2π}{|2a|}=π$，得a=±1，因为“a=±1“是“a=1”的必要不充分条件，故②正确；
对于③：记$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ．若平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cosθ$＜0；若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜0，则cosθ＜0，即$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ是钝角或平角（即180°）．
所以“$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜0”是“平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角”的必要不充分条件，故③不正确；
对于④：根据幂函数的性质，y=x^-1在（0，+∞）上是减函数，y=${x^{\frac{1}{2}}}$，y=x²，y=x³其中在（0，+∞）上是增函数，故④正确．
故答案为：①②④

点评 本题主要考查了命题的真假判断，同时也考查了含有量词的命题的否定，三角函数，向量以及幂函数的性质等知识点，对学生要求较高，属于中档题．