Question

【题目】已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个极值点 ， ，证明： .

Answer 1

【答案】
（1）解：函数 的定义域为 . .
，方程 的判别式 .
①当 时， ，∴ ，故函数 在 上递减；
②当 时， ，由 可得 ， .

函数 的减区间为 ；增区间为 .
所以，当 时， 在 上递减；当 时， 在 上递增，在 上递减
（2）解：由 （1）知当 时，函数 有两个极值点 ，且 .


设 ，则 ， ，
所以 在 上递增， ，
所以 .
【解析】（1）根据题目中所给的条件的特点，先求出函数的导数，通过分类讨论a的值，确定导函数的符号，利用导数研究函数的单调性，从而判断函数的单调性；
（2）表示出f（x1）+f（x2），通过利用导数求闭区间上函数的最值进行证明．导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．