Question

【题目】如图所示，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ，且 ，点 在线段 上，且 .

（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：∵ 平面 ， 平面 ，
∴ .
又∵底面 为正方形，
∴ .
∵ ，
∴ 平面 .
∴ .
设 交 于点 ，如图，在 中，

∵ ， ， ，∴由余弦定理可得 .∴ .∴ .
∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
又∵ 在平面 内，∴平面 平面 ；
（Ⅱ）∵ 为正方形，且 平面 ，∴ ， ， .
以 点为原点， 分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示.

由题意知， ，且 .
则 ， ， ， ， ，
∴ ， ，
， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 即
令 ，得 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 即
令 ，得 .
∴二面角 的余弦值为 ，
于是二面角 的余弦值为
【解析】(1)根据线面垂直的性质以及线面垂直的性质定理即可得证 B D ⊥ P C，再由已知边的关系利用余弦定理即可计算出 O E ⊥ P C，从而由线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得证结果。(2)根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标进而求出各个向量的坐标，设出平面BDE和平面PBD的法向量，由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量，再利用向量的数量积运算公式求出余弦值即可。