Question

5．研究一下，满足以下两个要求的三角形：①三边是连续的三个自然数；②最大角是最小角的两倍．这样的三角形（　　）

• A． 不存在
• B． 可能是直角三角形
• C． 必为钝角三角形
• D． 可能是锐角三角形

Answer 1

分析 根据三角形满足的两个条件，设出三边长分别为n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，由n-1，n+1，sinα，以及sin2α，利用正弦定理列出关系式，根据二倍角的正弦函数公式化简后，表示出cosα，然后利用余弦定理得到（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n-1）n•cosα，将表示出的cosα代入，整理后得到关于n的方程，求出方程的解得到n的值，将n的值代入表示出的cosα中，即可求出这个三角形最小角的余弦值，从而可求最大角的余弦值，即可判断最大角的范围，即可得解．

解答 解：设三角形三边是连续的三个自然n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，
由正弦定理可得：$\frac{n-1}{sinα}=\frac{n+1}{2sinαcosα}$=$\frac{n+1}{sin2α}$，
∴cosα=$\frac{n+1}{2（n-1）}$，
再由余弦定理可得：（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα=（n+1）²+n²-2（n+1）n•$\frac{n+1}{2（n-1）}$，
化简可得：n²-5n=0，解得：n=5或n=0（舍去），
∴n=5，
则cosα=$\frac{n+1}{2（n-1）}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$．
∴cos2α=2cos²α-1=$\frac{1}{8}$＞0，故三角形存在且不可能为直角和钝角．
故选：D．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键，考查了转化思想，属于中档题．