Question

20．某种产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x（万元）	1	2	3	4	5
销售额y（万元）	10	12	15	18	20

（1）利用所给数据求广告费用x与销售额y之间的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{a}$+$\widehat{b}$x；
（2）预计在今后的销售中，销售额与广告费用还服从（1）中的关系，如果广告费用为6万元，请预测销售额为多少万元？
附：其中$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程．
（2）将x=6代入回归直线方程求出y的值即为当广告费用为6万元时的销售额的估计值．

解答 解：（1）∵$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（1+2+3+4+5）=3，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（10+12+15+18+20）=15．
$\sum _{i=1}^{5}$x_i²=55，$\sum _{i=1}^{5}$x_iy_i=251，
则$\hat{b}$=$\frac{251-5×3×15}{55-5×{3}^{2}}$=2.6，
$\hat{a}$=$\overline{y}$-2.6$\overline{x}$=15-2.6×3=7.2，
故回归方程为$\hat{y}$=2.6x+7.2，
（2）当x=6时，$\hat{y}$=2.6×6+7.2=22.8，
故如果广告费用为6万元，销售额大约为22.8万元

点评 本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．