Question

12．在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-3sinα}\\{y=3cosα-2}\end{array}\right.$（α为参数，α∈R），在极坐标系中（以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴），曲线C₂的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a．
（1）把曲线C₁和C₂的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线C₂上会有三个点到曲线C₂的距离为$\frac{3}{2}$，求C₂的直角坐标方程．

Answer 1

分析 （1）根据平方关系和两角差的余弦公式，分别求出曲线C₁和C₂的方程化为直角坐标方程；
（2）由（1）求出圆C₁的圆心（2，-2）、半径r=3，根据题意判断出圆心（2，-2）到曲线C₂的距离是$\frac{3}{2}$，利用点到直线的距离公式求出a的值，即可求出C₂的直角坐标方程．

解答 解：（1）由题意得，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-3sinα}\\{y=3cosα-2}\end{array}\right.$（α为参数，α∈R），
∴消去α可得，曲线C₁的直角坐标方程是（x-2）²+（y+2）²=9，
∵曲线C₂的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，则$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ）=a，
∴曲线C₂的直角坐标方程是x+y-$\sqrt{2}$a=0；
（2）由（1）曲线C₁是圆，且圆心（2，-2），半径r=3，
∵曲线C₂上会有三个点到曲线C₂的距离为$\frac{3}{2}$，
∴圆心（2，-2）到曲线C₂的距离是$\frac{3}{2}$时符合题意，
则$\frac{|2-2-\sqrt{2}a|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{2}$，解得a=±$\frac{3}{2}$，
∴曲线C₂的直角坐标方程为x+y+$\frac{3}{2}$=0或x+y-$\frac{3}{2}$=0．

点评 本题考查圆的参数方程和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及点到直线的距离公式，属于中档题．