Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n²+n，n∈N^*．
（1）求a_n．
（2）如果数列{b_n}满足b_n=2^n-1（n∈N^*），求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2n²+n可得，当n=1时，可求a₁=3，当n≥2时，由a_n=s_n-s_n-1可求通项，进而可求b_n；
（2）由（1）知，a_nb_n=（4n-1）•2^n-1，利用错位相减可求数列的和．

解答 解：（1）由S_n=2n²+n可得，当n=1时，a₁=s₁=3，
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=2n²+n-2（n-1）²-（n-1）=4n-1，
而n=1，a₁=4-1=3适合上式，
故a_n=4n-1；
（2）由（1）知，a_nb_n=（4n-1）•2^n-1，
T_n=3×2⁰+7×2+…+（4n-1）•2^n-1，
2T_n=3×2+7×2²+…+（4n-5）•2^n-1+（4n-1）•2ⁿ
两式相减可得T_n=（4n-1）•2ⁿ-[3+4（2+2²+…+2^n-1）]
=（4n-1）•2ⁿ-[3+4•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$]
=（4n-1）•2ⁿ-[3+4（2ⁿ-2）]
=（4n-5）•2ⁿ+5．

点评 本题主要考查了数列的递推公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n＞1}\end{array}\right.$，在数列的通项公式求解中的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用．