Question

【题目】已知二次函数（、为常数且），满足条件，且方程有等根.

（1）若，恒成立，求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，，使当定义域为时，值域为？如果存在，求出，的值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，满足题意,详见解析

【解析】

（1）由已知中，可得的图象关于直线对称，结合方程有等根其，我们可构造关于的方程组，解方程组求出的值，即可得到的解析式，然后针对，恒成立，转化为函数在上恒成立，求其最小值，列不等式求出实数的取值范围；
（2）由（1）中函数的解析式，我们根据的定义域和值域分别为和，我们易判断出函数在的单调性，进而构造出满足条件的方程，解方程即可得到答案．

解：（1）满足，

的图像关于直线对称，

，①

又方程有等根，即有等根，

，②

由①②得，

，

令，

则在上恒成立，

所以，

解得；

（2）由（1）可得，

假设存在、，使当定义域为时，值域为，

则必有，即，即必在对称轴的左侧，且在单调递增，

所以，又由，

解得，

所以存在，满足题意.