Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）在一个周期内的图象如图所示．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求直线y=

3

与函数f（x）图象的所有交点的坐标．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由f（x）=

3

，求得 sin（

1

2

x+

π

4

）=

3

2

，可得

1

2

x+

π

4

=2kπ+

π

3

，或

1

2

x+

π

4

=2kπ+

2π

3

，k∈z，由此求得x的值，可得直线y=

3

与函数f（x）图象的所有交点的坐标．

解答： 解：（1）由函数的图象可得A=2，

T

4

=

1

4

•

2π

ω

=

3π

2

-

π

2

，求得ω=

1

2

．
再根据五点法作图可得

1

2

•(-

π

2

)+φ=0，∴φ=

π

4

，∴f（x）=2sin（

1

2

x+

π

4

）．
（2）由f（x）=2sin（

1

2

x+

π

4

）=

3

，求得 sin（

1

2

x+

π

4

）=

3

2

，∴

1

2

x+

π

4

=2kπ+

π

3

，或

1

2

x+

π

4

=2kπ+

2π

3

，k∈z．
求得x=4kπ+

π

6

，或 x=4kπ+

5π

6

，
故直线y=

3

与函数f（x）图象的所有交点的坐标为（4kπ+

π

6

，0），或（4kπ+

5π

6

，0），k∈z．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，解三角方程，属于基础题．