Question

（Ⅰ）证明：f（x）=x+

1

x

在（1，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）求证：tan²α-sin²α=tan²αsin²α

Answer 1

考点：三角函数恒等式的证明,函数单调性的性质

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）变形可判f（x₁）＜f（x₂），可得单调性；（Ⅱ）由三角函数公式且化弦，通分再弦化切可得．

解答： 证明：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

-（x2+

1

x2

）
=x₁-x₂+

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）
=（x₁-x₂）

x1x2-1

x1x2

，
∵x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，
∴（x₁-x₂）

x1x2-1

x1x2

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）=x+

1

x

在（1，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）左边=tan²α-sin²α=

sin2α

cos2α

-sin²α
=sin²α（

1

cos2α

-1）=sin²α•

1-cos2α

cos2α

=sin²α•

sin2α

cos2α

=tan²αsin²α=右边，
∴命题得证．

点评：本题考查三角函数恒等式和函数的单调性的证明，属基础题．