Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[

π

12

 ， 

5π

12

]，则椭圆的离心率的取值范围为（　　）

• A、[

  2

  2

  ，

  6

  3

  ]
• B、(0，

  2

  2

  ]
• C、[

  2

  2

  ，1)
• D、[

  6

  3

  ，1)

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由已知条件，利用根据椭圆定义推导出|AF|+|BF|=2a，再由O是Rt△ABF的斜边中点，推导出e=

1

2 sin(α+ π 4 )

，由此根据α∈[

π

12

 ， 

5π

12

]，能求出椭圆的离心率的取值范围．

解答： 解：∵B和A关于原点对称
∴B也在椭圆上
设左焦点为F′，
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|，
∴|AF|+|BF|=2a  …①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα    …②
|BF|=2ccosα    …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴

c

a

=

1

sinα+cosα

，
即e=

1

sinα+cosα

=

1

2 sin(α+ π 4 )

，
∵α∈[

π

12

 ， 

5π

12

]，
∴

π

3

≤α+

π

4

≤

3π

4

∴

3

2

≤sin（α+

π

4

）≤1
∴

2

2

≤e≤

6

3

．
故选：A．

点评：本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的灵活运用．