Question

【题目】若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1）．且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x2+1，如果函数g（x）=f（x）﹣a|x|恰有8个零点，则实数a的值为 ．

Answer 1

【答案】8﹣2
【解析】解：由f（x+1）=f（x﹣1），则f（x）=f（x﹣2），故函数f（x）为周期为2的周期函数．
∵函数g（x）=f（x）﹣a|x|恰有8个零点，
∴f（x）﹣a|x|=0在（﹣∞，0）上有四个解，
即f（x）的图象（图中黑色部分）与直线y=a|x|（图中红色直线）在（﹣∞，0）上有4个交点，
如图所示：
又当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x2+1，
∴当直线y=﹣ax与y=﹣（x+4）2+1相切时，即可在（﹣∞，0）上有4个交点，
∴x2+（8﹣a）x+15=0，∴△=（8﹣a）2﹣60=0．
∵a＞0，∴a=8﹣2 ．
所以答案是：8﹣2 ．