Question

19．对于数列{a_n}，若${a_1}=a+\frac{1}{a}（a＞0且a≠1），{a_{n+1}}={a_1}-\frac{1}{{{a_n}．}}$
（1）求a₂，a₂，a₄，并猜想{a_n}的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用${a_1}=a+\frac{1}{a}，{a_{n+1}}={a_1}-\frac{1}{a_n}$，代入计算，可得结论，猜想${a_n}=\frac{{{a^{2n+2}}-1}}{{a（{a^{2n}}-1）}}$．
（2）用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立

解答 解：（1）∵${a_1}=a+\frac{1}{a}，{a_{n+1}}={a_1}-\frac{1}{a_n}$，∴${a_2}={a_1}-\frac{1}{a_1}=a+\frac{1}{a}-\frac{a}{{a+\frac{1}{a}}}-\frac{a}{{{a^2}+1}}=\frac{{{a^4}+{a^2}+1}}{{a（{a^2}+1）}}$${a_3}={a_1}-\frac{1}{a_2}=\frac{{a_{\;}^2+1}}{a}-\frac{{a（{a^2}+1）}}{{{a^4}+{a^2}+1}}=\frac{{{a^6}+{a^4}+{a^2}+1}}{{a（{a^4}+{a^2}+1）}}$
同理可得${a_4}=\frac{{{a^8}+{a^6}+{a^4}+{a^2}+1}}{{a（{a^6}+{a^4}+{a^2}+1）}}$
猜想${a_n}=\frac{{{a^{2n}}+{a^{2n-2}}+…+{a^2}+1}}{{a（{a^{2n-2}}+{a^{2n-4}}+…+1）}}=\frac{{\frac{{{a^{2n+2}}-1}}{{{a^2}-1}}}}{{a•\frac{{{a^{2n-1}}}}{{{a^2}-1}}}}=\frac{{{a^{2n+2}}-1}}{{a（{a^{2n}}-1）}}$
（2）（ⅰ）当n=1时，右边=$\frac{{{a^4}-1}}{{a（{a^2}-1）}}=\frac{{{a^2}+1}}{a}={a_1}$，等式成立．
（ⅱ）假设当n=k时（k∈N^*），等式成立，即${a_k}=\frac{{{a^{2k+2}}-1}}{{a（{a^{2k}}-1）}}$，则当n=k+1时，${a_{k+1}}=a-\frac{1}{a_k}=\frac{{{a^2}+1}}{a}-\frac{{a（{a^{2k}}-1）}}{{{a^{2k+2}}-1}}$=$\frac{{（{a^2}+1）（{a^{2k+2}}-1）-{a^2}（{a^{2k}}-1）}}{{a（{a^{2k+2}}-1）}}$=$\frac{{{a^{2（k+2）}}-1}}{{a（{a^{2（k+1）}}-1）}}$，
这就是说，当n=k+1时，等式也成立．
根据（ⅰ）、（ⅱ）可知，对于一切n∈N^*，${a_n}=\frac{{{a^{2n+2}}-1}}{{a（{a^{2n}}-1）}}$成立．

点评 此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而得证，这是数列的通项一种常用求解的方法