Question

9．已知圆F₁：（x+1）²+y²=t²，圆F₂：（x-1）²+y²=（2$\sqrt{2}$-t）²，0＜t＜2$\sqrt{2}$，当两个圆有公共点时，所有可能的公共点组成的曲线记为C．
（1）求出曲线C的方程；
（2）已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），M、N、P为曲线C上不同三点，$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=λ$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=μ$\overrightarrow{a}$，求△PMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据两点间的距离公式可知，两圆公共点的轨迹是一个椭圆；
（2）求出|MN|，P到直线l_MN的距离的最大值，即可求△PMN面积的最大值．

解答 解：（1）曲线C上的点满足|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$＞|F₁F₂|=2，∴曲线C是以F₁，F₂为焦点的椭圆
∴a=$\sqrt{2}$，c=1，b=1，
∴曲线C的方程是$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$-----------（4分）
（2）∵$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=λ$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=μ$\overrightarrow{a}$，∴M，N，F₂三点共线，且直线l_MN的斜率为$\sqrt{3}$
∴直线l_MN的方程为$y=\sqrt{3}（{x-1}）$
与椭圆方程联立得7x²-12x+4=0
∴$|{MN}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\frac{{8\sqrt{2}}}{7}$-----------（8分）
设$P（{\sqrt{2}cosθ，sinθ}）$，
∴P到直线l_MN的距离$d=\frac{{|{\sqrt{6}cosθ-sinθ-\sqrt{3}}|}}{2}=\frac{{|{\sqrt{7}sin（{θ+φ}）-\sqrt{3}}|}}{2}$
∴${d_{max}}=\frac{{\sqrt{7}+\sqrt{3}}}{2}$，∴S_△MNP的最大值为$\frac{{2\sqrt{14}+2\sqrt{6}}}{7}$-----------（12分）

点评 本题考查了圆的方程及其性质，椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系及其处理方法，属于常规题．