Question

设x，y满足条件

y≥1 2x-y+2≤0 x-y+3≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则

1

a

+

1

b

的最小值为（　　）

• A、9
• B、

  1

  3

• C、

  7

  12

• D、

  3

  4

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求

1

a

+

1

b

的最小值．

解答： 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
作出可行域如图：
∵a＞0，b＞0，
∴直线y=-

a

b

x+

z

b

的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线y=-

a

b

x+

z

b

，由图象可知当y=-

a

b

x+

z

b

经过点C时，直线的截距最大，此时z也最大．
由

2x-y+2=0 x-y+3=0

，解得

x=1 y=4

，即C（1，4）．
此时z=a+4b=12，
即

a

12

+

b

3

=1，
则

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）（

a

12

+

b

3

）=

1

12

+

1

3

+

b

3a

+

a

12b

≥

5

12

+2

b 3a • a 12b

=

5

12

+

2

6

=

9

12

=

3

4

，
当且仅当

b

3a

=

a

12b

，即a=2b时取=号，
故选：D．

点评：本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．