Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，F是C₁C上一点，且CF=2a．
（1）求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）求三棱锥D-AB₁F的体积；
（3）试在AA₁上找一点E，使得BE∥平面ADF．

Answer 1

（1）

证明：∵AB=AC，D为BC中点∴AD⊥BC，
又直三棱柱中：BB₁⊥底面ABC，AD?底面ABC，
∴AD⊥BB₁，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵B₁F?平面BCC₁B₁
∴AD⊥B₁F．
在矩形BCC₁B₁中：C₁F=CD=a，CF=C₁B₁=2a
∴Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁，
∴∠CFD=∠C₁B₁F
∴∠B₁FD=90°，即B₁F⊥FD，
∵AD∩FD=D，
∴B₁F⊥平面AFD；
（2）∵AD⊥平面BCC₁B₁
∴VD-AB1F=VA-B1DF=

1

3

•S△B1DF•AD
=

1

3

×

1

2

B1F•FD×AD=

5 2 a3

3

；
（3）当AE=2a时，BE∥平面ADF．
证明：连EF，EC，设EC∩AF=M，连DM，
∵AE=CF=2a
∴AEFC为矩形，
∴M为EC中点，
∵D为BC中点，
∴MD∥BE，
∵MD?平面ADF，BE?平面ADF
∴BE∥平面ADF．