Question

已知直线：

2

ax+by=1（其中a，b是实数） 与圆：x²+y²=1（O是坐标原点）相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P（a，b）是以点M（0，1）为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积最小值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：综合题,直线与圆

分析：根据圆的方程找出圆心坐标和半径，由|OA|=|OB|根据题意可知△AOB是等腰直角三角形，根据勾股定理求出|AB|的长度，根据等腰直角三角形的性质可得圆心到直线的距离等于|AB|的一半，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，两者相等即可得到a与b的轨迹方程为一个椭圆，圆M的面积最小时，所求半径为椭圆a²+

b2

2

=1上点P（a，b）到焦点（0，1）的距离最小值，即可得出结论．

解答： 解：由圆x²+y²=1，所以圆心（0，0），半径为1
所以|OA|=|OB|=1，则△AOB是等腰直角三角形，得到|AB|=

2

则圆心（0，0）到直线

2

ax+by=1的距离为

1

2a2+b2

=

2

2

，
所以2a²+b²=2，即a²+

b2

2

=1．
因此，圆M的面积最小时，所求半径为椭圆a²+

b2

2

=1上点P（a，b）到焦点（0，1）的距离最小值，由椭圆的性质，可知最小值为

2

-1．
所以圆M的面积最小值为π（

2

-1）²=（3-2

2

）π．
故答案为：（3-2

2

）π．

点评：本题考查学生灵活点到直线的距离公式化简求值，综合运用所学的知识求动点形成的轨迹方程，是一道综合题．