【题目】(本题满分16分)如图,在平面直角坐标系中,离心率为
的椭圆
的左顶点为
,过原点
的直线(与坐标轴不重合)与椭圆
交于
两点,直线
分别与
轴交于
两点.若直线
斜率为
时,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)试问以为直径的圆是否经过定点(与直线
的斜率无关)?请证明你的结论.
【答案】(1)(2)过定点
.
【解析】试题分析:(1)因为离心率为,所以要确定椭圆标准方程,只需再确定一个独立条件,即点P坐标:根据点
斜率为
且
可求
,所以
,又
,解得椭圆
的标准方程为
.
(2)用点P坐标表示出的坐标及以
为直径的圆的方程:设
,则直线
方程为:
,∴
,直线
方程为:
,∴
,以
为直径的圆为
,利用
化简得
,所以动圆必过
与
的交点
试题解析:解:(1)设,
∵直线斜率为
时,
,∴
,∴
3分
∴,∵
,∴
.
∴椭圆的标准方程为
. 6分
(2)以为直径的圆过定点
.
设,则
,且
,即
,
∵,∴直线
方程为:
,∴
,
直线方程为:
,∴
, 9分
以为直径的圆为
即, 12分
∵,∴
,
令,
,解得
,
∴以为直径的圆过定点
. 16分
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【题目】(本小题满分为16分)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,椭圆的长轴长为
,且点
在该椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为直线
上不同于点
的任意一点,若直线
与椭圆相交于异于
的点
,证明:△
为钝角三角形.
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【题目】某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试,先将700个零件进行编号001,002,…,699,700.从中抽取70个样本,如图提供随机数表的第4行到第6行,若从表中第5行第6列开始向右读取数据,则得到的第5个样本编号是( )
A.607
B.328
C.253
D.007
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【题目】如图,已知椭圆,点B是其下顶点,过点B的直线交椭圆C于另一点A(A点在
轴下方),且线段AB的中点E在直线
上.
(1)求直线AB的方程;
(2)若点P为椭圆C上异于A、B的动点,且直线AP,BP分别交直线于点M、N,证明:OM·ON为定值.
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【题目】(本题满分16分)数列,
,
满足:
,
,
.
(1)若数列是等差数列,求证:数列
是等差数列;
(2)若数列,
都是等差数列,求证:数列
从第二项起为等差数列;
(3)若数列是等差数列,试判断当
时,数列
是否成等差数列?证明你的结论.
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【题目】已知函数f(x)=2asinωxcosωx+2 cos2ωx﹣
+1(a>0,ω>0)的最大值为3,最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间.
(2)若f(θ)= ,求sin(4θ+
)的值.
(3)若存在区间[a,b](a,b∈R,且a<b)使得y=f(x)在[a,b]上至少含有6个零点,在满足上述条件的[a,b]中,求b﹣a的最小值.
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【题目】如图是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式f(x)=anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0的求值问题的算法.现按照这个程序执行函数f (x)=3x4﹣2x3﹣6x﹣17的计算,若输入的值x0=2,则输出的v的值是( )
A.0
B.2
C.3
D.﹣3
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【题目】随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:
(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.
日期 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
天气 | 晴 | 雨 | 阴 | 阴 | 阴 | 雨 | 阴 | 晴 | 晴 | 晴 | 阴 | 晴 | 晴 | 晴 | 晴 |
日期 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
天气 | 晴 | 阴 | 雨 | 阴 | 阴 | 晴 | 阴 | 晴 | 晴 | 晴 | 阴 | 晴 | 晴 | 晴 | 雨 |
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