Question

【题目】（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆 的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点．若直线斜率为时， ．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）（2）过定点．

【解析】试题分析：（1）因为离心率为，所以要确定椭圆标准方程，只需再确定一个独立条件，即点P坐标：根据点斜率为且可求，所以，又，解得椭圆的标准方程为．

（2）用点P坐标表示出的坐标及以为直径的圆的方程：设，则直线方程为： ，∴，直线方程为： ，∴，以为直径的圆为，利用化简得，所以动圆必过与的交点

试题解析：解：（1）设，

∵直线斜率为时， ，∴，∴３分

∴，∵，∴．

∴椭圆的标准方程为． ６分

（2）以为直径的圆过定点．

设，则，且，即，

∵，∴直线方程为： ，∴，

直线方程为： ，∴， ９分

以为直径的圆为

即， 12分

∵，∴，

令，，解得，

∴以为直径的圆过定点． 16分