Question

【题目】已知抛物线：的焦点为，点为上异于顶点的任意一点，过的直线交于另一点，交轴正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形.

（1）求的方程；

（2）若直线，且和相切于点，试问直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 直线过定点.

【解析】

（1）设，抛物线的焦点为，由，可得，从而，再由点横坐标与中点横坐标相同可求得．

（2）设，可得，由，可设直线的方程为，由它与抛物线相切可求得，也即得出点坐标，求出直线方程，观察得其过定点．注意分类，即按直线斜率是否存在分类讨论．

（1）抛物线的焦点，设，则的中点坐标为，

∵，∴，解得，或（舍），

∵，∴，解得，

∴抛物线方程为.

（2）由（1）知，，设，，

∵，则，由得，即，

∴直线的斜率，∵，故设直线的方程为，

联立方程组，得，

∵直线与抛物线相切，∴，，

设，则，，

当时，，直线的方程为，

∵，∴直线的方程为，∴直线过定点，

当时，直线方程为，经过定点，

综上，直线过定点.