【题目】如图,在四棱锥中,
,底面
为直角梯形,
,
分别为
中点,且
,
.
(1)平面
;
(2)若为线段
上一点,且
平面
,求
的值;
(3)求二面角的大小.
【答案】(1)详见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)连结,利用勾股定理逆定理可证明
,又易证
,可证明
平面
(2)连接
,根据
,
平面
可得
,进而
,利用
为
中点可得结论(3)取
的中点
连结
,由(1)知
,且
,
,建立空间直角坐标系
,求平面
,平面
的法向量,计算其夹角即可.
(1)证明:连结
,
为
的中点
,且
,
又,
是
中点,
,
由已知,
,且
是平面
内两条相交直线
平面
.
(2)连接,由已知底面
为直角梯形,
,
则四边形为平行四边形
所以
因为平面
,
平面
,平面
平面
,
所以
所以
因为为
中点,所以
为
中点
所以,又因为点
为
的中点.
所以.
(3)取的中点
连结
,由(1)知
,且
,
,
如图,建立空间直角坐标系.
因为
所以,
,
,
由于平面
,所以平面
的法向量
设平面的法向量
,则有
即
令,则
,
,即
由题知二面角为锐二面角
所以二面角的大小为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知定义在区间上的函数
的图象关于直线
对称,当
时,函数
.
(1)求,
的值;
(2)求的表达式;
(3)若关于的方程
有解,那么将方程在
取某一确定值时所求得的所有解的和记为
,求
的所有可能值及相应
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线:
的焦点为
,点
为
上异于顶点的任意一点,过
的直线
交
于另一点
,交
轴正半轴于点
,且有
,当点
的横坐标为3时,
为正三角形.
(1)求的方程;
(2)若直线,且
和
相切于点
,试问直线
是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,港口在港口
的正东120海里处,小岛
在港口
的北偏东
的方向,且在港口
北偏西
的方向上,一艘科学考察船从港口
出发,沿北偏东
的
方向以20海里/小时的速度驶离港口
.一艘给养快艇从港口
以60海里/小时的速度驶向小岛
,在
岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船.已知两船同时出发,补给装船时间为1小时.
(1)求给养快艇从港口到小岛
的航行时间;
(2)给养快艇驶离港口后,最少经过多少小时能和科考船相遇?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知二次函数满足
(
),且
.
(1)求的解析式;
(2)若函数在区间
上是单调函数,求实数
的取值范围;
(3)若关于的方程
有区间
上有一个零点,求实数
的取值范围.
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