Question

1．已知F₁，F₂是双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，|F₁F₂|=4，点A在双曲线的右支上，线段AF₁与双曲线左支相交于点B，△F₂AB的内切圆与边BF₂相切于点E．若|AF₂|=2|BF₁|，|BE|=2$\sqrt{2}$，则双曲线C的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设|BF₁|=m，则|AF₂|=2m，由双曲线的定义可得|AF₁|=2a+2m，|BF₂|=m+2a，|EF₂|=m+2a-2$\sqrt{2}$，再由内切圆的性质，求得a=$\sqrt{2}$，结合离心率公式，可得所求．

解答 解：设|BF₁|=m，则|AF₂|=2m，
由双曲线的定义有|AF₁|=|AF₂|+2a=2a+2m，
|BF₂|=m+2a，|EF₂|=m+2a-2$\sqrt{2}$，
即有2a+2m=2m-（m+2a-2$\sqrt{2}$）+2$\sqrt{2}$+m，
解得a=$\sqrt{2}$，
由c=2，可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查内切圆的性质，考查离心率的求法，属于中档题．