Question

12．已知过定点P（2，0）的直线l与曲线$y=\sqrt{2-{x^2}}$相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的倾斜角为（　　）

• A． 150°
• B． 135°
• C． 120°
• D． 30°

Answer 1

分析 曲线y=$\sqrt{2-{x}^{2}}$为圆x²+y²=2的上半圆，由题意和三角形的面积公式可得当∠AOB=90°时，△AOB的面积取到最大值，O到直线l的距离OD=1，在直角三角形中由三角函数定义和倾斜角的定义可得．

解答 解：曲线y=$\sqrt{2-{x}^{2}}$为圆x²+y²=2的上半圆，
由题意可得△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$•OA•OB•sin∠AOB=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$•sin∠AOB=sin∠AOB，
当sin∠AOB=1即∠AOB=90°时，△AOB的面积取到最大值，
此时在RT△AOB中易得O到直线l的距离OD=1，
在RT△POD中，易得sin∠OPD=$\frac{OD}{OP}$=$\frac{1}{2}$，可得∠OPD=30°，
∴直线l的倾斜角为150°
故选：A

点评 本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是解决问题的关键，属中档题．