Question

20．对于函数y=F（x），若在其定义域内存在x₀，使得x₀•F（x₀）=1成立，则称x₀为函数F（x）的“反比点”．已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}{（x-1）^2}$-1
（1）求证：函数f（x）具有“反比点”，并讨论函数f（x）的“反比点”个数；
（2）若x≥1时，恒有x•f（x）≤λ（g（x）+x）成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用函数的导数，求出函数的最值，然后求解满足题意的点的个数．
（2）转化表达式通过构造函数，求解函数的导数，然后对λ分类讨论，求解λ的最小值．

解答 解（1）证明：设h（x）=xlnx-1，h′（x）=lnx-1，h′（x）＞0得x∈（e，+∞），
h′（x）＜0得x∈（0，e）
∵h（e）=elne-1=e-1＞0，$h（\frac{1}{e}）=\frac{1}{e}ln\frac{1}{e}-1=\frac{1}{e}-1＜0$，
∴在（0，+∞）上有解，所以函数f（x）具有“反比点”．且有且只有一个；（5分）
（2）x•f（x）≤λ（g（x）+x）?xlnx≤λ（$\frac{1}{2}（x-1）^{2}$-1+x）?xlnx≤λ（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$）?lnx-$\frac{1}{2}$λ（x-$\frac{1}{x}$），
令$G（x）=lnx-\frac{1}{2}λ（x-\frac{1}{x}），G'（x）=\frac{{-λ{x^2}+2x-λ}}{{2{x^2}}}$，
1°当λ≤-1时，△=4-4（-λ）（　　）-λ
≤0，故恒有-λx²+2x-λ≥0．则G′（x）≥0恒成立，故G（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
∴G（x）≥G（1）=0，这与条件矛盾；
2°当-1＜λ＜0时，x=$-\frac{2}{2（-λ）}$=$\frac{1}{λ}$＜0，
故恒有y=-λx²+2x-λ≥0．在区间[1，+∞）上是增函数．
-λx²+2x-λ≥2-2λ＞0，则G′（x）≥0恒成立，故G（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
∴G（x）≥G（1）=0，这与条件矛盾；
3°当λ=0时，G′（x）=$\frac{2x}{2{x}^{2}}$＞0恒成立，故G（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
∴G（x）≥G（1）=0，这与条件矛盾；
4°当0＜λ＜1时，设-λx²+2x-λ=0．的两个根x₁，x₂，x₁＜x₂，
∵x₁+x₂=$\frac{2}{λ}$＞2，x₁x₂=1，∴0＜x₁＜x₂＜1，
故有x∈（1，x₂）时，-λx²+2x-λ＞0，在区间（1，x₂）上是增函数．
∴G（x）≥G（1）=0，这与条件矛盾；
5°当1≤λ时，△=4-4（-λ）（-λ）≤0
则G′（x）≤0恒成立，故G（x）在区间[1，+∞）上是减函数．
∴G（x）≤G（1）=0，命题恒成立；
综上所述λ≥1，所以λ的最小值为1 （12分）．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值以及函数的性质的应用，考查转化思想以及分类讨论思想的应用．