Question

5．已知函数f（x）=asinωx+bcosωx+1（a，b≠0，ω＞0）的最小正周期是π．f（x）有最大值7$\frac{1}{2}$，且f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+4（1）求a，b的值
（2）若α≠kπ+β，（k∈Z），且α，β是f（x）=0的两根，求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）根据辅助角公式f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（ωx+φ）+1，f（x）有最大值7$\frac{1}{2}$，$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=6$\frac{1}{2}$，
f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+4，a+$\frac{1}{2}$b=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+3，联立求得a、b的值，
（2）根据和差化积公式改写成cos（α+β+φ）sin（α-β）=0，α≠kπ+β，（k∈Z），sin（α-β）≠0，cos（α+β+φ）=0，求得α+β=kπ+$\frac{π}{2}$-φ（k∈Z），再求得tan（α+β）．

解答 解：（1）f（x）=asinωx+bcosωx+1=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（ωx+φ）+1，
最小正周期是π，ω=$\frac{2π}{T}$=2，
f（x）有最大值7$\frac{1}{2}$，$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=6$\frac{1}{2}$，①
f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+4，
asin$\frac{π}{3}$+bcos$\frac{π}{3}$+1=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+4，
$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\frac{1}{2}$b=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+3，②
联立①②解得：a=$\frac{5}{2}$，b=6，
∴a=$\frac{5}{2}$，b=6，
（2）tanφ=$\frac{12}{5}$，f（x）=6$\frac{1}{2}$sin（2x+φ）+1，
α，β是f（x）=0的两根，f（α）=f（β）=0，
sin（2α+φ）-sin（2β+φ）=0．
∴cos（α+β+φ）sin（α-β）=0，
α≠kπ+β，（k∈Z），sin（α-β）≠0，
α+β=kπ+$\frac{π}{2}$-φ（k∈Z）．
∴tan（α+β）=tan（$\frac{π}{2}$-φ）=$\frac{sin（\frac{π}{2}-φ）}{cos（\frac{π}{2}-φ）}$，
tan（α+β）=$\frac{cosφ}{sinφ}$=$\frac{1}{tanφ}$=$\frac{5}{12}$，
tan（α+β）=$\frac{5}{12}$．

点评 本题考查辅助角公式及积化和差公式，过程复杂，属于基础题．