Question

1．设O为△ACB中一点，满足|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，且$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=0，求△ACB的面积．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，可得O为△ACB的外接圆的圆心，且外接圆半径为1，把$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$移向平方，化简得到∠AOB=120°，同理得到∠AOC=∠BOC=120°，则△ACB为等边三角形，利用余弦定理求出边长，则三角形面积可求．

解答 解：∵|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，
∴O为△ACB的外接圆的圆心，且外接圆半径为1，
又$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=-$\overrightarrow{OC}$，
两边平方得，$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）^{2}=|\overrightarrow{OA}{|}^{2}+|\overrightarrow{OB}{|}^{2}+2|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|cos∠AOB$=$|-\overrightarrow{OC}{|}^{2}$，
∴cos$∠AOB=-\frac{1}{2}$，则∠AOB=120°，
同理求得∠AOC=∠BOC=120°，
则△ACB为等边三角形，
∴边长为$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}-2×1×1×cos120°}$=$\sqrt{2-2×（-\frac{1}{2}）}=\sqrt{3}$，
∴一边上的高为$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}=\frac{3}{2}$．
∴△ACB的面积为S=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查向量的三角形法则，考查平面向量的数量积运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．