Question

13．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点A₁在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC₁=2．
（1）证明：AC₁⊥A₁B；
（2）设二面角A₁-AB-C的正切值为$\sqrt{15}$．求直线AA₁与平面BCC₁B₁的距离．

Answer 1

分析 （1）推导出平面AA₁C₁C⊥平面ABC，从而BC⊥平面AA₁C₁C，再求出AC₁⊥A₁C，由此能证明AC₁⊥A₁B．
（2）推导出平面AA₁C₁C⊥平面BCC₁B₁．作A₁E⊥CC₁，E为垂足，作DF⊥AB，F为垂足，连接A₁F．得到∠A₁FD为二面角A₁-AB-C的平面角．由此能求出直线AA₁与平面BCC₁B₁的距离．

解答 证明：（1）因为A₁D⊥平面ABC，A₁D?平面AA₁C₁C，
故平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA₁C₁C，连接A₁C．
因为侧面AA₁C₁C为菱形，故AC₁⊥A₁C．
由三垂线定理得AC₁⊥A₁B．
解：（2）BC⊥平面AA₁C₁C，BC?平面BCC₁B₁．
故平面AA₁C₁C⊥平面BCC₁B₁．
作A₁E⊥CC₁，E为垂足，则A₁E⊥平面BCC₁B₁．
作DF⊥AB，F为垂足，连接A₁F．
由三垂线定理得A₁F⊥AB，
故∠A₁FD为二面角A₁-AB-C的平面角．
设AD=x则A₁D=$\sqrt{4-{x^2}}$，$DF=\frac{{\sqrt{5}}}{5}x$，而tan∠A₁FD=$\frac{A1D}{DF}$=$\sqrt{15}$，
故x=1，所以D是AC的中点，
故${A_1}D=\sqrt{3}$为直线AA₁与平面BCC₁B₁的距离．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查直线到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．